Tökéletes számok

 

A "tökéletes szám", olyan szám, amely egyenlő, a magánál kisebb osztóinak az összegével, ha az 1-et is az osztók közé számítjuk. A tökéletes szám fogalma, a püthagoreusoktól származik. Ők négy tökéletes számot ismertek (a 6-ot, a 28-at, a 496-ot és a 8128-at).

Már Eukleidész (i.e. 300 körül) tudta, hogy ha 2^k+1 -1 törzsszám, (ahol is "k" természetes szám), akkor 2^k (2^k+1 -1) tökéletes szám.

Euler (1707-1783) kimutatta, hogy fordítva is így van, azaz hogy az összes páros tökéletes szám, 2^k (2^k+1 -1) alakú.

Az ötödik tökéletes számot Regiomontanus (1436-1476) találta meg. Ez a k=12-höz tartozó, 2¹² (2¹³-1) = 33 550 336. A XVI. században Johann Seheybl (1494-1580) tübingeni matematikus a hatodik és a hetedik tökéletes számot fedezte fel, a k =16 és a k =18 kitevők esetén. Euler a k = 30-ra mutatta ki, hogy 2³⁰ (2³¹ -1) is tökéletes szám.

A XIX. században négy új tökéletes számot ismertek meg. Ezek a 2⁶⁰ (2⁶¹ -1), a 2⁸⁸ (2⁸⁹ -1), a 2¹⁰⁶ (2¹⁰⁷ -1) és a 2¹²⁶ (2¹²⁷ -1).

A XX. században már számítógépekkel vadásztak a tökéletes számokra. Az eredmény: 2⁵²⁰ (2⁵²¹ -1), a 2⁶¹⁶ (2⁶¹⁷ -1), a 2¹²⁷⁸ (2¹²⁷⁹ -1), a 2²¹⁷⁰ (2²¹⁷¹ -1), a 2²²⁰² (2²²⁰³ -1), a 2²²⁸⁰ (2²²⁸¹ -1), a 2³²¹⁶ (2³²¹⁷ -1), és a 2⁴⁴⁴⁹⁶ (2⁴⁴⁴⁹⁷ -1). Persze, lehet, hogy már vannak újabbak is…