Szögharmadolás
Mielőtt
ennek a klasszikus feladatnak a megoldását megnéznénk,
előbb néhány érdekesség, ami a szerkesztésekkel kapcsolatos:
1890-ben Adler kimutatta, hogy bármely körzővel
és vonalzóval elvégezhető szerkesztés kivitelezhető
párhuzamos élű vonalzóval is.
További
érdekes megállapítás, hogy egy derékszögű vonalzóval
meg lehet szerkeszteni a másodfokú egyenlet gyökeit,
két derékszögű vonalzóval pedig megoldható a déloszi
probléma (kockakettőzés) és a szögharmadolás is, sőt
lehet szabályos hétszöget és kilencszöget is szerkeszteni…
Már
az ókori görögök is kutattak más szerkesztési eljárások
után. Pl. Nikomédész (i.e. II. sz.) az általa felfedezett
konhoisz görbe segítségével oldotta meg a szögharmadolási,
és kockakettőzési feladatokat.
1672-ben
a dán Mohr kimutatta, hogy minden körzővel és vonalzóval
végrehajtható szerkesztés, elvégezhető csupán körzővel
is. Ez a munka, feledésbe merült, és több mint 100 évvel
később (1797-ben) az olasz Mascheroni is rájött Mohr
felfedezésére.
A
XIX. században Gauss igazolta, hogy euklideszi szerkesztéssel,
nem szerkeszthető meg olyan szám, amely racionális együtthatójú
algebrai egyenletnek nem lehet gyöke.
Egy
másik meglepő szerkesztési tételt, egymástól függetlenül
fedezett fel Poncelet (1822-ben), és Steiner (1833-ban).
Azt találták, hogy ha a síkon adott egy kör, a középpontjával
együtt, akkor mindazon szerkesztések, melyek körzővel
és vonalzóval elvégezhetők, csupán vonalzóval is végrehajthatók…
Vizsgáltak
olyan szerkesztéseket is, amelyek csak olyan vonalzó
használatát engedik meg, amelyen egyetlen, egységnek
tekintett távolság van kijelölve. Ezek a szerkesztések
a Hilbert féle axiómarendszerhez fűződnek. Mivel a más
fent említett okok miatt a szögharmadolási probléma
euklideszi szerkesztéssel nem oldható meg, az alábbi
megoldás, a Hilbert féle feltételek felhasználását veszi
alapul.
Az
ókor egyik nevezetes feladata volt, egy tetszőleges
szögnek három egyenlő részre osztása szerkesztéssel.
Ez a
cos
x = 4 cos3 (x/3) - 3 cos (x/3)
egyenletnek,
azaz a 4 x3 - 3x - a = 0 alakú harmadfokú
egyenletnek a megoldásával egyenértékű. Mivel ennek
a harmadfokú egyenletnek általában (tehát minden a-ra
nézve), nincs racionális megoldása, azért a szerkesztés,
körzővel és vonalzóval nem végezhető el. (lásd Gauss)
A
görög Hippiász az i.e. V. században (!), a feladatot
a kvadratrix nevű görbe segítségével oldotta meg. Nikomédész
pedig a konhoisz görbe felhasználásával szerkesztette
meg egy szög harmadát. Készített olyan eszközt is, amellyel
a konhoisz megrajzolható…
Ha
az euklideszi szerkesztéshez pluszként megengedjük,
hogy egy, a vonalzóra kijelölt szakaszt is felhasználhatunk
(lásd Hilbert), akkor a szögharmadolás már megoldható.
Az alább bemutatott szerkesztés már Arkhimédész (
i.e. 287? - 212) műveiben is megtalálható (!!!)
A
tetszőleges alfa szög egyik szárát hosszabbítsuk meg.
A vonalzónkon kijelölt távolsággal, mint sugárral rajzoltuk
meg, a keletkezett 180°-os szög ívét. Most a vonalzónkat
helyezzük el úgy, hogy a rajta kijelölt AB=r
távolság B pontja a félköríven, az A
pontja pedig a szögszár meghosszabbításán legyen, és
a vonalzó éle ugyanakkor az alfa szög szárának és a
félkörnek M metszéspontján is átmenjen.
Könnyű belátni, hogy az így keletkezett béta
szög, éppen az alfa szög harmada.
